sábado, 5 de abril de 2014

Generalizaciones de los números de L.S. Pontriaguin

Generalizaciones de los números es un libro de divulgación matemática, escrito por L.S. Pontriaguin (más conocido como Lev Pontryagin) y publicado por la Editorial URSS.
jarban02_pic043: Generalizaciones de los números de L.S. Pontriaguin
 Edición: año 2005

Este libro comienza allí donde finalizan los números que utilizamos habitualmente en nuestra vida. Partiendo del concepto de número real (que engloba a los conceptos de números naturales, enteros, racionales e irracionales), el autor da unos pasos más, exponiendo la definición del concepto de número y desarrollando las condiciones para considerar las posibles generalizaciones del concepto de número.

Primero, desarrolla generalizaciones del concepto de número que contienen a los números reales (números complejos y  cuaterniones). Y posteriormente, desarrolla a los números p-ádicos como una generalización de los números racionales que no incluyen a los números reales.

Progresivamente, el autor introduce conceptos como los espacios vectoriales, los cuerpos algebraicos, los campos, los cuerpos topológicos (conexos y no conexos), e incluye su aportación personal a esta rama de las Matemáticas, el Teorema de Pontriaguin (1931):
"Todo cuerpo topológico conexo localmente compacto es o bien el campo de los números reales, o bien campo de números complejos, o bien el cuerpo de los cuaterniones"
Concluyendo que los números reales y complejos no son producto casual del desarrollo histórico, sino que surgieron en las matemáticas por necesidad, como los únicos entes que pueden desempeñar el papel de números.

Mi opinión personal: es un libro muy recomendable, está escrito de forma didáctica y amena, y permite al lector ampliar la visión sobre el mundo de los números. Para comprender el libro habrá que tener conocimientos de Matemáticas a nivel preuniversitario.

Enlaces:

3 comentarios:

  1. Hola! Estoy completamente de acuerdo con tu comentario sobre este magnífico librito. Existen otros textos muy buenos que tratan este tema. La pena es que todos (o casi todos) están escritos en inglés. El más recomendable es, a mi juicio, el siguiente:

    H. D. Ebbinghaus et. al. (son muchos autores), "Numbers", Gradutate Texts in Maths., vol 123, Springer, 1995

    En él encontrarás muchísimos resultados muy interesantes. Incluso un método muy curioso de definir números en base a teoría de juegos, introducido por J. Conway... (Hay que saber bastante de topología y álgebra para leer este texto, pero incluye cosas verdaderamente curiosas...)

    Un texto relacionado, dedicado exclusivamente al teorema fundamental del álgebra, es:

    B. Fine, G. Rosenberger, "The fundamental theorem of algebra", Undergraduate Texts in Maths. Springer, 1997.

    Sobre el Teorema fundamental del álgebra la wikipedia contiene información interesante, incluyendo las primeras demostraciones geométricas que existen (que tengo el honor de firmar!...) También es muy curiosa la demostración de un teorema de este tipo para los cuaternios (¡ojo: no siempre se da, pero sí se sabe en qué casos...! La prueba se debe a I. Niven... aunque hay otras posteriores...)

    Quien quiera conocer los números p-ádicos puede leer:

    F. Q. Gouvea, "p-adic numbers", UniversityText, Springer, 2003

    Sobre números trascendentes apareció hace poco un texto interesante en español:

    J. Fresán, J. Rué, "Los números trascendentes", en la colección ¿qué sabemos de? del CSIC, 2013.

    En todo caso este tema es de enorme interés y hay que decir que algunos matemáticos españoles han contribuido notablemente a su desarrollo (por ejemplo, el prof. Palacios de la Univ. de Granada...)

    Abrazos. Sigo pendiente de tus reseñas:¡parece que coincidimos bastante en gustos!

    tuyo,

    J M Almira

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Ciertamente, me cuesta encontrar libros de divulgación matemática en castellano que no sean muy básicos, y que traten aspectos de la Matemática que no se estudien en bachillerato o en carreras técnicas.

      Muchas gracias por tu comentario, y por la gran cantidad de información que aportas.

      Eliminar
  2. Bueno. Es que divulgar matemáticas no es sencillo. Y menos si quieres explicar cosas relativamente complejas... No lo es para ninguna disciplina, pero en matemáticas es muy complicado por el lenguaje. Otras disciplinas, como la física, se apropian del lenguaje cotidiano. Así, cuando un físico habla de "energía" o de "fuerzas", los lectores tienen tendencia a "creer que entienden" lo que se les dice, aunque el físico esté en realidad refiriéndose a aspectos muy técnicos que quedan ocultos al lector -a no ser que éste sea un especialista en el tema en cuestión-

    Aún así, la sensación de "comprender" es mucho mayor es estas disciplinas... pero la verdadera comprensión requiere un estudio profundo. Esto hace que existan muchos más libros de divulgación sobre temas de física, biología, etc., que de matemáticas. En matemáticas el lenguaje hay que explicarlo y ello implica introducir conceptos y abstracciones que resultan difíciles a muchas personas... Es una pena, pero es lo que hay.

    Abrazos

    Jose

    P.s.- De todas formas, en física existe mucha "mala divulgación". Sin embargo, me gustaría apuntar aquí dos textos excepcionales -ambos del mismo autor- Las "Seis piezas fáciles" y "El carácter de la ley física" de Feynman. (Este segundo texto se dice que es el responsable de más del 30% de vocaciones en física en EEUU. En particular, yo le debo mucho de mi amor por esta disciplina).

    ResponderEliminar